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Factorizacion
Para entender la operación algebraica llamada factorización es preciso repasar los siguientes
conceptos:
Cualquier expresión que incluya la relación
de igualdad (=) se llama ecuación.
Una ecuación se denomina identidad si la igualdad se cumple para
cualquier valor de las variables; si la ecuación se cumple para ciertos valores
de las variables pero no para otros, la ecuación es condicional.
Un término es una expresión algebraica que sólo
contiene productos de constantes y variables; 2x,
– a, 3x son algunos ejemplos
de términos.
La parte numérica de un término se denomina coeficiente.
Los coeficientes de cada uno de los ejemplos
anteriores son 2, – 1, y 3.
Una expresión que contiene un solo término se
denomina monomio; si
contiene dos términos se llama binomio y si contiene tres términos, es un trinomio.
Un polinomio es una suma (o diferencia) finita de
términos.
En este contexto, el grado es el mayor exponente de las variables
en un polinomio. Por ejemplo, si el mayor exponente de la variable es 3, como
en ax3 + bx2 + cx,
el polinomio es de tercer
grado.
Una ecuación
lineal en una variable es una
ecuación polinómica de primer
grado; es decir, una ecuación de la forma ax
+ b = 0.
Se les llama ecuaciones lineales porque
representan la fórmula de una línea recta en la geometría
analítica.
Una ecuación
cuadrática en una variable es
una ecuación polinómica de segundo
grado, es decir, de la forma ax2 + bx + c = 0.
Un número
primo es un entero (número
natural) que sólo se puede dividir exactamente por sí mismo y por 1. Así, 2, 3, 5, 7, 11 y 13 son todos
números primos.
Las potencias de un número se obtienen mediante
sucesivas multiplicaciones del número por sí mismo. El término a elevado a la tercera potencia, por
ejemplo, se puede expresar como a·a·a o a3
Los factores
primos de un cierto número
son aquellos factores en los que éste se puede descomponer de manera que el
número se puede expresar sólo como el producto de números primos y sus
potencias.
Descomposición
de números naturales en sus factores primos
Por ejemplo, un número natural como 20 puede
expresarse como un producto de números de diferentes formas:
20
= 2 • 10 = 1 • 20 = 4 • 5
En cada uno de estos casos, los números que
forman el producto son los factores.
Es decir, cuando expresamos el número 20 como
el producto 2 • 10, a cada uno de los números (2 y 10) se les denomina factor.
En el caso de 1 • 20 los factores son 1 y 20
y finalmente en el caso de 4 • 5, los factores son 4 y 5.
Cada uno de los números 1, 2, 4, 5, 10, 20 se
denominan a su vez divisores de 20.
Otro ejemplo, los factores primos de 15 son 3
y 5. Del mismo modo, como 60 = 22 •
3 • 5, los factores primos de 60 son 2, 3 y 5.
Debe recordarse, además, que cuando un número
es divisible únicamente por sí mismo y por la unidad el número
se denominaprimo.
Factorización
y productos notables
Así como los números naturales pueden ser expresados
como producto de dos o más números, los polinomios pueden ser expresadas como
el producto de dos o más factores algebraicos.
Cuando un polinomio no se puede factorizar se
denomina irreducible. En
los casos en que la expresión es irreducible, solo puede expresarse como el
producto del número 1 por la expresión original.
Al proceso de expresar un polinomio como un
producto de factores se le denomina factorización.
El proceso de factorización puede
considerarse como inverso al
proceso de multiplicar.
Factorizar, entonces, quiere decir identificar los factores comunes a
todos los términos y agruparlos.
Los factores comunes son aquellos números que
aparecen multiplicando a todos los términos de una expresión algebraica.
Estos números pueden estar dados explícitamente
o representados por letras.
Así, factorizar un polinomio es descomponerlo
en dos o más polinomios llamados factores, de tal modo que al multiplicarlos
entre sí se obtenga el polinomio original.
En otras palabras, dada una expresión
algebraica complicada, resulta útil, por lo general, el descomponerla en un
producto de varios términos más sencillos.
Por ejemplo, 2x3 + 8x2y se puede factorizar, o reescribir,
como 2x2(x + 4y).
Algunos ejemplos:
De la expresión ab2 + 3cb - b3 podemos factorizar b
y obtenemos la expresión: b(ab + 3c - b2) (1)
Veamos paso a paso cómo se obtuvo la
expresión:
ahora podríamos reacomodar la expresión que
queda dentro del paréntesis:
Finalmente si sustituimos este último
resultado en (1),
obtenemos:
ab2 +
3cb - b3 = b (b (a - b) + 3c)
ab2 +
3cb - b3 = b (ab - b2 + 3c)
ab2 +
3cb - b3 = b (ab +3c
–b2)
Por otro lado, algunos productos sencillos
que tienen una estructura determinada y que pueden ser evaluados de forma
directa se denominan Productos
notables.
En general los casos de factorización
corresponden a los casos de productos notables.
Antes de mostrar ejercicios de aplicación de
factorización y productos notables, es necesario recordar la forma de hallar el máximo común divisor (mcd) de un conjunto de números dados.
Ejemplo: Determinar el máximo
común divisor (mcd) de los números 56, 42 y 28.
El máximo
común divisor de un conjunto
de números dados corresponde al mayor número natural que los divide
simultáneamente, con residuo cero.
Para hallar el mcd de un conjunto determinado de números,
estos se dividen simultáneamente por los diferentes números primos (tomados en
orden ascendente, y desechando los números primos por los cuales no se pueda
hacer la división con residuo cero de todos los números de la fila) según el
arreglo mostrado a continuación.
El proceso termina, cuando los números que
aparecen en la fila inmediatamente inferior a la última división simultánea, no pueden dividirse simultáneamente por algún número primo.
El mcd buscado es el producto de los números
primos que aparecen a la derecha:
56
|
42
|
28
|
÷
|
2
|
28
|
21
|
14
|
÷
|
7
|
4
|
3
|
2
|
||
Los números originales (56, 42, 28) se
escriben desde la izquierda hacia la derecha.
A la derecha de ellos se escribe el 2 (primer
número primo de la lista) y se divide cada uno de estos números por 2,
escribiendo el resultado obtenido en la misma columna del número original.
La segunda fila muestra estos resultados.
Como los números 28, 21 y 14 no pueden
dividirse simultáneamente por 3, este número primo se
desecha.
De forma similar se desecha el 5.
El siguiente número primo en la lista es 7.
En este caso se puede hacer la división
simultáneamente obteniéndose los números 4, 3 y 2.
Esta última fila no puede
dividirse simultáneamente ni por 2 ni por 3.
Como el siguiente número primo (5) es mayor
que 4, el proceso termina.
Por lo tanto, el mcd de los números 56, 42 y 28 es el
producto de los números primos de la derecha: 2 • 7 = 14
Lo anterior se expresa como: mcd (56, 42, 28) = 14 (el
máximo común divisor de los números 56, 42 y 28 es igual a 14)
Ejemplo: Factorizar 9x + 6y - 12z
Este es un ejemplo sencillo de la
factorización por factor común.
Dada una expresión algebraica se encuentra el
máximo común divisor (mcd) de los coeficientes de los términos de la expresión
algebraica.
Este mcd corresponde al coeficiente del
factor común.
Para la parte literal se toman las variables
comunes a todos los términos con el menor exponente que aparezca.
Para este ejercicio el mcd de 9, 6 y 12 es 3; además
como no hay variables comunes en los tres términos tenemos:
9x
+ 6y - 12z = 3(3x + 2y - 4z)
es decir 9x + 6y - 12z
se ha expresado como el producto de los factores 3 y 3x + 2y - 4z.
Ejemplo: Factorizar 9xy2 + 6y4 - 12
y3z
En este caso además del factor común 3 (mcd
de 9, 6, 12) la variable y es común a los tres términos. La menor potencia
común es y2 por
lo tanto la factorización queda:
9xy2 + 6y4 - 12y3z
= 3y2(3x + 2y2 - 4yz)
Los factores en este caso son 3x + 2y2 - 4yz
y 3y2. Para verificar, al realizar el producto indicado se
obtiene la expresión original:
3y2(3x
+ 2y2 - 4yz) = (3y2 * 3x) + (3y2 * 2y2) - (3y2 * 4yz)
=
9xy2 + 6y4 - 12y3z
Nótese que se ha aplicado la propiedad
distributiva del producto. En general no es necesario hacer la
verificación de la factorización, pero es conveniente cuando existan dudas
sobre el resultado obtenido:
